【正方形】シェルピンスキーのカーペット【立方体】メンガーのスポンジ

フラクタル図形の例として
有名なこの図形を何という?
シルピンスキーのギャスケット(答)
フレイザー図形
メンガーのスポンジ
リアプノフ・フラクタル
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フラクタル(仏: fractale, 英: fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語の fractus から。図形の部分と全体が自己相似(再帰)になっているものなどをいう。なお、マンデルブロが導入する以前から以下で述べるような性質を持つ形状などはよく考えられてきたものであり、また、そういった図形の一つである高木曲線は幾何ではなく解析学上の興味によるものである。
引用元:フラクタル – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB

シェルピンスキーのギャスケット(英: Sierpinski gasket、波: uszczelka Sierpińskiego)はフラクタル図形の1種であり、自己相似的な無数の三角形からなる図形である。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキにちなんで名づけられた。シェルピンスキーのガスケット、シェルピンスキーの三角形(波: trójkąt Sierpińskiego、英: Sierpinski triangle)、シェルピンスキーのざる(英: Sierpinski sieve)とも呼ばれる。

作図例
シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形であるため、正確に作図することは不可能だが、以下の手順を繰り返すことで、近似的な図形を作図できる。なお、繰り返し回数を増やすことにより、望む処まで近似のレベルを高められる。

正三角形を用意する。
正三角形の各辺の中点を互いに結んでできた中央の正三角形を切り取る。
残った正三角形に対して2の手順を無限に繰り返す。
上記の手順の結果できる図形がシェルピンスキーのギャスケットである。
引用元:シェルピンスキーのギャスケット – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%AE%E3%83%A3%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88

フレイザー錯視
フレイザー錯視は、イギリスの心理学者ジェームス・フレイザーが1908年に発表した錯視[8]。中央を共有する複数の円の上に傾き錯視が現れるようにすることで得られ、同心円が渦巻きのように見えるようになる[8]。これは、水平から若干傾けた斜線を平行に置くことで、全体としては水平であるはずの直線が、傾き方向に傾いて見える現象を利用している[9]。

なお、直線でも同じ錯視は現れ、傾いて見える。また、他の傾き錯視を用いてもフレイザー錯視のような渦巻き錯視の作図が可能であることが示されている[8]。
引用元:錯視 – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%8C%AF%E8%A6%96

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元(ハウスドルフ次元、相似次元)は {\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}{\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。
引用元:メンガーのスポンジ – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%82%B8

シェルピンスキーのカーペット(英: Sierpinski carpet、波: dywan Sierpińskiego)は、1919年、ヴァツワフ・シェルピンスキが発表した平面フラクタル。カントール集合を2次元に一般化したものである。同様のものとして「カントールの塵」もある。2次元平面に投影された任意の1次元のグラフがシェルピンスキーのカーペットの部分集合に対して位相同型であるという意味において、このフラクタルは universal curve であることをシェルピンスキーは示した。自己交差せずに2次元表面に描けない曲線について、対応する universal curve はメンガーのスポンジであり、より高次元の一般化である。

この技法は三角形、四角形、六角形などによる平面充填にも応用できる。平面充填以外には応用できないとされている。
引用元:シェルピンスキーのカーペット – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%9A%E3%83%83%E3%83%88

カントール集合(カントールしゅうごう、Cantor set)は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス(英語版)により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。

カントールの三進集合とも呼ばれ[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される[9]。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト(塵)と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた[10]。

構成
カントール集合は、幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、再帰的に繰り返すことで作られる集合である。ここで、取り除く線分は開区間である。すなわち、単位区間I = [0, 1] から、1回目の操作では (1/3, 2/3) を取り除き、2回目の操作では (1/9, 2/9) と (7/9, 8/9) を取り除き……といった具合に操作を無限に繰り返し、残った部分集合がカントール集合である[12]。
引用元:カントール集合 – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88

リアプノフ・フラクタル(英: Lyapunov fractal)とは、個体数の成長指数 r が周期的に2つの値 a と b に切り替わるロジスティック写像を拡張することで得られる分岐的フラクタルである。

リアプノフ・フラクタルは、a と b について与えられた周期列の a-b 平面における安定的振る舞いとカオス的振る舞いの領域(リアプノフ指数 {\displaystyle \lambda }\lambda を使って測る)の写像により構築される。掲載している図では色が付いている部分が {\displaystyle \lambda <0}\lambda <0(安定)で、黒い部分が {\displaystyle \lambda >0}\lambda >0(カオス)である(左上が (a,b) = (0,0))。
引用元:リアプノフ・フラクタル – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%8E%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB