シュレーフリ記号


正多胞体を数字で記述する
◯◯◯◯◯◯記号?
シュレーフリ(答)
10%
Schläfli

前回は正多面体の条件を満たす立体について...
「それぞれの面が正p角形で一つの頂点にq個の面が会する」ということで3以上の自然数(p、q)の組で表せること、それが(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,3)、(5,3)の5種類しか無いことを示しました。
このように正多面体を表す(p,q)の組のことを「シュレーフリ記号」といいます。
※19世紀スイスの幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリ (Ludwig Schläfli, 1814-1895) が発案しました。

少し分かりにくいかもしれないので各多面体を見てみましょう。


正四面体は正3角形が一つの頂点に3つ会しています。つまりp=3、q=3なので
(3,3)と表せます。以下同様に...
引用元:多面体に関する研究2 正多面体が5種類であることの証明 | 朋優学院高等学校クラブニュース https://www.ho-yu.ed.jp/club-news/science/481.html

多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました.
多面体で基本的な定理は,オイラーの定理V+F-E=2(3次元)が有名です.これを使うとプラトンの正多面体(凸多面体)が5つというのがすぐ証明できます.正多面体というのは,面が1種類の正多面体でできており,どの頂点のまわりの状態も同一なものです.正多面体の記述は,定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います.正p角形が頂点にq個集まっている(同じことだが辺がq個集まっている)状態は,{p,q}と記述されます.3次元の多面体は,面が3個以上集まらないと作れませんし,面が正3角形の場合には,6個集まると平面になってしまいますので,正3角形の面をもつ凸多面体は,{3,q},q=3,4,5しかありません.q=3の場合は正4面体,q=4の場合は正8面体,q=5の場合は正20面体です.
全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になりこれらをまとめてデルタ多面体と呼びます.
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが,2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は,正4面体と正8面体です.
結晶学では良く知られていることですが,面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち,それぞれのウイグナー-ザイツ胞(デリクレ胞とも言う)は,それぞれ菱形12面体,切頂正8面体になります.数学と諸科学[科学や造形]の関わり合いで現れる多面体の性質は,非常に興味を惹く話題です.
引用元:033_大阪大学公開講座 – 日本数学協会 http://www.sugaku-bunka.org/jogmj685g-453/?block_id=453&active_action=journal_view_main_detail&post_id=337&comment_flag=1

Ludwig Schläfli (15 January 1814 – 20 March 1895) was a Swiss mathematician, specialising in geometry and complex analysis (at the time called function theory) who was one of the key figures in developing the notion of higher-dimensional spaces. The concept of multidimensionality has come to play a pivotal role in physics, and is a common element in science fiction.
引用元:Ludwig Schläfli – Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schl%C3%A4fli