フェルマー素数「3」「5」「17」「257」コンパスと定規で作図できる正多角形

152VqzulSx
次のうち、フェルマー素数を
全て選びなさい
11
3(答)
7


次のうち、フェルマー素数を
全て選びなさい
3(答)
5(答)
17(答)
28%


次の正多角形のうちコンパスと定規だけで作図できるものを全て選びなさい。
正3角形(答)
正5角形(答)
正7角形
正17角形(答)
正57角形
正257角形(答)

【1】オイラーとフェルマー素数

  Fn=2^(2^n)+1

の形の素数をフェルマー素数といいます.F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537257は素数であることがわかります.

 3,5,17が素数であることは明らかですが,たとえば,257については√257=16.03・・・ですから,これより小さい素数2,3,5,7,13が257を割らないことを確かめればよいことになりますし,65537257については,√65537257=256.0・・・ですから,今度は2,3,5,・・・,233,239,241,251と55個の素数で65537257を割らないことを確かめます.

 フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが,n=5であっけなく破綻してしまいました.

  F5=2^(2^5)+1=4294967297=641×6700417

 この間違いを発見したのはフェルマーから約100年後のオイラーです.彼は約数641をあてずっぽうでみつけたのでも,2,3,5,7,・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません.オイラーはFnが合成数であるならば,それはあるkに対してk2^(n+2)+1であることを知っていて,F5の中の因数641=5・2^7+1を見つけたのです(1732年).
引用元:フェルマー素数について http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/232_fermat.htm

フェルマー数(フェルマーすう)とは 2^2^n + 1 (n は自然数)の形に書くことができる自然数のことである。クヌースの矢印表記を用いれば、2↑2↑n + 1 となる。n 番目のフェルマー数はしばしば Fn と記される。
この式はピエール・ド・フェルマーが、n に自然数を代入したとき常に素数を生成すると主張(予測)したものであるが、後にオイラーが n = 5 の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された。
>フェルマー数が素数であるとき、フェルマー素数という。4番目までは素数なので、フェルマーは、全てのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、5番目のフェルマー数は次のように分解できることを 1732年にオイラーが示し、反例が与えられた。
F5 = 225 + 1 = 641 × 6700417
>また、定規とコンパスによる作図問題の1つである、定規とコンパスのみを使い正多角形を作図できるかという問題において、正 n 角形で n を素因数分解したときに奇数因子が全てフェルマー素数のどれかであり、なおかつ同じフェルマー素数が2つ以上存在しない場合のみ、作図可能だということがガウス により証明されている。
現在 F5 以降のフェルマー数の中に、素数となるようなものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。
引用元:フェルマー数 – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E6%95%B0

正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が著した『原論』に記されており、よく知られていた。長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した[4][5]。同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち
n = 2mFaFb…Fc(Fa , Fb , … ,Fc は全て異なるフェルマー素数、m は非負整数)
の形であることを示した[6]。これは 1 の原始 n 乗根 ζn のガロア群の構造が 2 次拡大の繰り返しによって得られることの特徴付けとして得られる。このような n は、小さい順に(300以下のものを)並べると、
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272,…(オンライン整数列大辞典の数列 A3401)
である[7]。
引用元:定規とコンパスによる作図 – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3